2. 뇌의 모델링

이 노트는 '인공지능 시스템' 강의를 수강하며 정리한 내용을 바탕으로 작성했습니다.

2.1 신경세포(뉴런)의 구성

생물학적 뉴런은 다음 네 가지 주요 부분으로 구성됩니다.

• 세포체(Soma): 신호를 통합하고 판단하는 중심
• 수상돌기(Dendrite): 다른 뉴런으로부터 신호를 받는 입력부
• 축삭(Axon): 신호를 먼 거리로 전달하는 출력부
• 시냅스(Synapse): 뉴런과 뉴런 사이의 연결부, 신호가 전달되는 접점

뉴런은 수상돌기로 여러 입력을 받고, 세포체에서 이를 합산한 뒤, 일정 임계치를 넘으면 축삭을 통해 펄스를 방출합니다. 시냅스는 이 신호 전달의 강도를 결정하며, 학습을 통해 강도가 변합니다.

2.2 M-P 모델 (McCulloch-Pitts 모델)

생물학적 뉴런을 수학적으로 단순화한 최초의 모델입니다.

구성

• 입력: $x_1, x_2, \ldots, x_n$ (각 입력은 0 또는 1)
• 가중치: 흥분성(+1) 또는 억제성(-1)
• 출력: 0 또는 1

동작

순입력(net input): $$\text{Net} = \sum_{i=1}^{n} w_i x_i$$

출력: $$y = \begin{cases} 1 & \text{if Net} \geq T \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

여기서 $T$는 임계치(threshold)입니다.

2.3 전달 함수 (Activation Function)

M-P 모델에서는 기본적으로 계단 함수(step function)를 사용합니다.

• 입력: 가중합 Net
• 출력: 0 또는 1 (임계치 기준)

이후 시그모이드, 하이퍼볼릭 탄젠트 등 미분 가능한 활성화 함수로 발전합니다.

2.4 M-P 모델의 가설들

M-P 모델은 논리 연산을 구현하기 위해 몇 가지 가설을 세웁니다.

• 가설 1: 흥분성 뉴런은 +1 가중치
• 가설 2: 임계치 T에 대해 $kw \geq T > (k-1)w$가 되도록 설정 (흥분성 뉴런만 있을 때)
• 가설 3: 억제성 뉴런은 -1 가중치
• 가설 4: 억제성이 포함되면 $T > mw - p$ 로 설정 (m: 흥분성 뉴런 수, p: 억제성 영향)

핵심: 흥분성 뉴런만 사용 시 가설 2, 억제성이 포함되면 가설 4로 임계치 구함.

2.5 논리 연산 예제

예제 2.3: AND 연산

입력 $x_1, x_2 \in \{0,1\}$에 대해 $y = x_1 \land x_2$.

• 흥분성 뉴런 2개 사용, $w = 1$
• $k=2$일 때 T=2가 되도록 (두 입력 모두 1일 때만 출력 1)

진리표: | $x_1$ | $x_2$ | Net | y | |-------|-------|-----|---| | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 2 | 1 |

예제 2.4: OR 연산

$y = x_1 \lor x_2$.

• 흥분성 뉴런 2개, $w = 1$, $T = 1$

진리표: | $x_1$ | $x_2$ | Net | y | |-------|-------|-----|---| | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 2 | 1 |

→ 입력 가중합이 T=1보다 크면 출력 1.

예제 2.5: NOT 연산

$y = \bar{x}$.

• 억제성 입력만 필요, 연결강도는 억제성 (-1)
• 가설 4 적용: $T > mw - p$ 에서 $m$=흥분성 뉴런 수=0이므로 $T > 0 \times 1 + 1 \times (-1) = -1$ → $T = 0$

진리표: | x | Net | y | |---|-----|---| | 0 | 0 | 1 | | 1 | -1 | 0 |

→ 입력 가중합이 T=0보다 커야 활성.

예제 2.6: XOR 연산 (중요)

$y = x_1 \oplus x_2 = x_1 \bar{x_2} + \bar{x_1} x_2$.

단일 뉴런으로는 구현 불가능한 대표적 문제. 은닉층(hidden layer)을 도입해야 합니다.

• $y_1$: $x_1$ 흥분성, $\bar{x_2}$ 억제성 (가설 4, T=1)
• $y_2$: $\bar{x_1}$ 억제성, $x_2$ 흥분성 (가설 4, T=1)
• $y$: $y_1$과 $y_2$를 OR 연결 (예제 2.4 참조)

진리표 계산 결과 XOR 진리표와 일치합니다.

핵심 정리

• M-P 모델은 뉴런의 동작을 이진 논리로 모델링한 최초의 수학적 시도
• 가중치가 고정되어 있어 학습은 불가 (퍼셉트론에서 해결)
• 단층으로는 선형 분리 가능한 문제만 처리 (AND, OR, NOT)
• XOR 같은 비선형 문제는 은닉층 도입 필요 → 다층 신경망의 필요성

이 장의 가장 중요한 교훈은, 단순한 뉴런 모델을 조합해 기본 논리 게이트를 구현할 수 있다는 점과, 단층의 한계를 극복하려면 은닉층이 필수라는 점입니다. 이는 다음 장부터 전개될 퍼셉트론과 다층 신경망 이론의 출발점입니다.