13-2. 능동 필터 설계: 1차/2차 Sallen-Key 필터

1. 능동 필터의 개요와 중요성

능동 필터는 연산 증폭기(Op-Amp)와 수동 소자(저항, 커패시터)를 사용하여 신호의 주파수 성분을 선택적으로 통과시키거나 감쇠시키는 회로입니다. 이는 주어진 주파수 대역의 신호를 증폭하고, 원치 않는 노이즈를 제거하며, 특정 신호만을 추출하는 데 필수적인 기술입니다. 수동 필터에 비해 능동 필터는 다음과 같은 장점을 제공합니다.

• 이득: Op-Amp를 통해 신호 증폭이 가능하므로, 신호 손실을 보상하고 원하는 레벨로 신호를 증폭할 수 있습니다.
• 가변성: 저항이나 커패시터 값을 변경하여 필터의 중심 주파수, 대역폭, 이득 등을 쉽게 조절할 수 있습니다.
• 고립: Op-Amp의 높은 입력 임피던스와 낮은 출력 임피던스는 필터의 동작을 다른 회로에 영향을 받지 않도록 보호하며, 부하 효과를 최소화합니다.
• 컴팩트한 크기: 필터 설계의 유연성을 제공하며, 특정 설계에서는 더 작은 크기를 가질 수 있습니다.

능동 필터는 통신 시스템, 오디오 장비, 계측 장비, 제어 시스템 등 다양한 분야에서 널리 사용됩니다. 저역 통과 필터(Low-Pass Filter), 고역 통과 필터(High-Pass Filter), 대역 통과 필터(Band-Pass Filter), 대역 저지 필터(Band-Stop Filter) 등 다양한 종류가 있으며, 각 응용 분야에 적합한 설계를 선택해야 합니다.

2. Sallen-Key 필터 토폴로지 소개

Sallen-Key 필터는 Op-Amp를 이용한 능동 필터의 대표적인 토폴로지 중 하나입니다. 이 구조는 상대적으로 간단하며, 낮은 부품 수로 우수한 성능을 얻을 수 있어 널리 사용됩니다. Sallen-Key 필터는 2차 필터 설계를 쉽게 구현할 수 있으며, 높은 Q값 (선택도)과 가변성을 갖는 필터를 구현할 수 있다는 장점이 있습니다.

Sallen-Key 필터는 기본적으로 1차 또는 2차 필터로 설계되며, 여러 개의 2차 필터를 직렬로 연결하여 고차 필터를 구성할 수도 있습니다. 1차 필터는 비교적 간단한 설계로 구성되지만, 2차 필터는 더 가파른 롤오프(Roll-off, 주파수 응답 특성의 기울기)를 제공하여 특정 주파수 대역의 신호를 더 효과적으로 필터링합니다.

3. 1차 Sallen-Key 필터 설계

1차 Sallen-Key 필터는 1차 저역 통과 필터 또는 1차 고역 통과 필터로 구현할 수 있습니다. 1차 필터는 간단한 RC 회로와 Op-Amp를 사용하여 설계되며, 20dB/decade (주파수가 10배 증가할 때마다 20dB 감소)의 롤오프를 갖습니다.

1) 1차 저역 통과 Sallen-Key 필터

1차 저역 통과 Sallen-Key 필터는 낮은 주파수의 신호를 통과시키고, 높은 주파수의 신호를 감쇠시킵니다. 회로 구성은 다음과 같습니다.

위 그림에서, $R_1$, $R_2$ 및 $C$는 수동 소자이며, Op-Amp는 전압 팔로워(Voltage Follower)로 구성됩니다. 전압 팔로워는 이득이 1인 증폭기로, 입력 신호를 그대로 출력합니다. 이 회로의 전달 함수는 다음과 같습니다.

$$ H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \frac{1}{1 + sRC} $$

여기서, $s$는 라플라스 연산자이며, 컷오프 주파수($f_c$)는 다음과 같이 계산됩니다.

$$ f_c = \frac{1}{2 \pi RC} $$

컷오프 주파수는 필터가 신호를 감쇠시키기 시작하는 주파수를 의미합니다.

2) 1차 고역 통과 Sallen-Key 필터

1차 고역 통과 Sallen-Key 필터는 높은 주파수의 신호를 통과시키고, 낮은 주파수의 신호를 감쇠시킵니다. 회로 구성은 다음과 같습니다.

이 회로의 전달 함수는 다음과 같습니다.

$$ H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \frac{sRC}{1 + sRC} $$

컷오프 주파수($f_c$)는 1차 저역 통과 필터와 동일하게 계산됩니다.

$$ f_c = \frac{1}{2 \pi RC} $$

4. 2차 Sallen-Key 필터 설계

2차 Sallen-Key 필터는 1차 필터보다 더 가파른 롤오프를 제공하며, 보다 정밀한 필터링이 가능합니다. 2차 필터는 저역 통과, 고역 통과, 대역 통과, 대역 저지 필터로 구현할 수 있습니다.

1) 2차 저역 통과 Sallen-Key 필터

2차 저역 통과 Sallen-Key 필터는 낮은 주파수의 신호를 통과시키고, 높은 주파수의 신호를 감쇠시킵니다. 이 회로는 두 개의 커패시터와 두 개의 저항을 사용하며, Op-Amp를 이용하여 이득을 조절할 수 있습니다.

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위 그림에서, $R_1$, $R_2$, $C_1$, $C_2$는 수동 소자이며, Op-Amp는 이득 $A$를 갖는 비반전 증폭기로 구성됩니다. 이 회로의 전달 함수는 다음과 같습니다.

$$ H(s) = \frac{A}{s^2R_1R_2C_1C_2 + sR_2C_2(2 - A) + 1} $$

여기서, $A$는 Op-Amp의 이득입니다. 컷오프 주파수($\omega_0$)와 Q값은 다음과 같이 계산됩니다.

$$ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}} $$

$$ Q = \frac{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}{R_2C_2(2 - A)} $$

Q값은 필터의 선택도를 나타냅니다. Q값이 높을수록 컷오프 주파수 근처에서 더 날카로운 응답을 보이며, 특정 주파수 대역의 신호를 선택적으로 통과시킵니다. Q값이 0.707(또는 1/√2)일 때, "Butterworth" 응답을 얻을 수 있으며, 이는 평탄한 통과 대역과 적절한 롤오프를 제공합니다.

2) 2차 고역 통과 Sallen-Key 필터

2차 고역 통과 Sallen-Key 필터는 높은 주파수의 신호를 통과시키고, 낮은 주파수의 신호를 감쇠시킵니다.

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이 회로의 전달 함수는 다음과 같습니다.

$$ H(s) = \frac{A s^2 R_1 R_2 C_1 C_2}{s^2 R_1 R_2 C_1 C_2 + s R_1 C_1 (2 - A) + 1} $$

여기서, $A$는 Op-Amp의 이득입니다. 컷오프 주파수($\omega_0$)와 Q값은 다음과 같이 계산됩니다.

$$ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}} $$

$$ Q = \frac{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}{R_1C_1(2 - A)} $$

3) 2차 대역 통과 Sallen-Key 필터

2차 대역 통과 Sallen-Key 필터는 특정 주파수 대역의 신호를 통과시키고, 다른 주파수의 신호를 감쇠시킵니다.

\

이 회로의 전달 함수는 다음과 같습니다.

$$ H(s) = \frac{A s R_1 C_2}{s^2 R_1 R_2 C_1 C_2 + s R_1 C_2 + 1} $$

여기서, $A$는 Op-Amp의 이득입니다. 중심 주파수($\omega_0$), Q값 및 대역폭($BW$)는 다음과 같이 계산됩니다.

$$ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{R_2 C_1 C_2}} $$

$$ Q = \frac{\sqrt{R_2 C_1}}{R_1 C_2} $$

$$ BW = \frac{\omega_0}{Q} $$

4) 2차 대역 저지 Sallen-Key 필터

2차 대역 저지 Sallen-Key 필터는 특정 주파수 대역의 신호를 감쇠시키고, 다른 주파수의 신호를 통과시킵니다. (대역 통과 필터와 구성 요소의 위치가 다름)

5. Sallen-Key 필터 설계 시 고려 사항

Sallen-Key 필터를 설계할 때 다음과 같은 사항을 고려해야 합니다.

• Op-Amp 선택: Op-Amp의 대역폭, 슬루율(Slew Rate), 입력 바이어스 전류는 필터 성능에 영향을 미칩니다. 높은 주파수에서 동작하는 필터의 경우, 충분한 대역폭을 가진 Op-Amp를 선택해야 합니다. 슬루율은 출력 전압의 변화율을 제한하며, 이는 신호 왜곡을 유발할 수 있습니다. 입력 바이어스 전류는 저항 값에 따라 오프셋 전압을 발생시켜, DC 정확도에 영향을 줄 수 있습니다.
• 수동 소자 선택: 저항과 커패시터의 허용 오차는 필터의 정확도에 영향을 미칩니다. 고정밀도를 요구하는 응용 분야에서는 정밀 저항과 커패시터를 사용해야 합니다. 또한, 커패시터의 ESR(Equivalent Series Resistance)은 고주파에서 성능을 저하시킬 수 있으므로, ESR이 낮은 커패시터를 선택하는 것이 좋습니다.
• 이득 설정: Op-Amp의 이득은 필터의 Q값에 영향을 미칩니다. 원하는 Q값을 얻기 위해 적절한 이득을 설정해야 합니다. 비반전 증폭기 회로에서, 이득은 $A = 1 + \frac{R_2}{R_1}$으로 계산됩니다.
• 전원 노이즈: Op-Amp는 전원 노이즈에 민감합니다. 안정적인 전원 공급을 위해, 전원 단자에 바이패스 커패시터를 추가하는 것이 좋습니다.
• 시뮬레이션: 필터를 설계한 후에는 시뮬레이션을 통해 주파수 응답 특성을 확인하고, 실제 회로 구현 전에 문제를 미리 파악하는 것이 좋습니다.

6. Sallen-Key 필터 설계의 예시

예시 1: 1kHz 2차 저역 통과 Butterworth 필터 설계

1. 사양: 컷오프 주파수 $f_c$ 1 kHz, Butterworth 응답 (Q 0.707), 이득 = 1
2. 계산:
   • $\omega_0 = 2 \pi f_c = 2 \pi \times 1000 = 6283$ rad/s
   • $R_1 = R_2 = R$, $C_1 = C_2 = C$로 설정하면, $\omega_0 = \frac{1}{RC}$
   • Butterworth 응답을 위해 $A = 2$로 설정 (이득 1)
   • 편의상, $C = 10 nF$로 선택
   • $R = \frac{1}{\omega_0 C} = \frac{1}{6283 \times 10 \times 10^{-9}} \approx 15.9 k\Omega$
3. 부품 선택:
   • $R_1 = R_2 = 15 k\Omega$ (가장 가까운 표준 저항 값)
   • $C_1 = C_2 = 10 nF$
   • Op-Amp: 범용 Op-Amp (예: LM741)
4. 회로 구성: 2차 저역 통과 Sallen-Key 필터 회로 구성 (위 그림 참조)
5. 시뮬레이션: 시뮬레이션을 통해 주파수 응답 특성을 확인

예시 2: 10kHz 2차 고역 통과 Sallen-Key 필터 설계

1. 사양: 컷오프 주파수 $f_c$ 10 kHz, Butterworth 응답 (Q 0.707), 이득 = 1
2. 계산:
   • $\omega_0 = 2 \pi f_c = 2 \pi \times 10000 = 62832$ rad/s
   • $R_1 = R_2 = R$, $C_1 = C_2 = C$로 설정하면, $\omega_0 = \frac{1}{RC}$
   • Butterworth 응답을 위해 $A = 2$로 설정 (이득 1)
   • 편의상, $C = 1 nF$로 선택
   • $R = \frac{1}{\omega_0 C} = \frac{1}{62832 \times 1 \times 10^{-9}} \approx 15.9 k\Omega$
3. 부품 선택:
   • $R_1 = R_2 = 15 k\Omega$ (가장 가까운 표준 저항 값)
   • $C_1 = C_2 = 1 nF$
   • Op-Amp: 범용 Op-Amp (예: LM741)
4. 회로 구성: 2차 고역 통과 Sallen-Key 필터 회로 구성 (위 그림 참조)
5. 시뮬레이션: 시뮬레이션을 통해 주파수 응답 특성을 확인

7. 결론

Sallen-Key 필터는 Op-Amp와 수동 소자를 이용하여 다양한 필터 특성을 구현할 수 있는 강력하고 유연한 설계 방법입니다. 1차 및 2차 필터 설계 방법을 이해하고, Q값과 이득을 조절하여 원하는 주파수 응답을 얻을 수 있습니다. 회로 설계 시 Op-Amp의 특성과 수동 소자의 허용 오차를 고려해야 하며, 시뮬레이션을 통해 설계 결과를 검증하는 것이 중요합니다. 능동 필터는 오디오, 통신, 계측 등 다양한 분야에서 널리 활용되며, Sallen-Key 필터는 이러한 응용 분야에서 효과적인 솔루션을 제공합니다.